Question

如圖，F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F三點確定的圓M的半徑為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點A的直線l與圓M交于P、Q兩點，且

MP

•

MQ

=-2求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知c=1，a=2，b=

3

，由此可知所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）點A的坐標為（-2，0），圓M的方程為（x-1）²+y²=4，過點A斜率不存在的直線與圓不相交，設直線l₂的方程為y=k（x+2．由此入手可知所求直線的方程為x+2

2

y+2=0或X-2

2

y+2=0．

解答：解：（Ⅰ）F（-c，0），
∵橢圓的離心率為

1

2

，
∴∠FBO=300，∴b=

3

c，
∴B（0，

3

c），C（3c，0）
∴FC=4c=4，解得c=1，a=2，b=

3

∴所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；（6分）
（II）點A的坐標為（-2，0），
圓M的方程為（x-1）²+y²=4，
過點A斜率不存在的直線與圓不相交，
設直線l₂的方程為y=k（x+2），（7分）
∵

MP

•

MQ

=-2，又|

MP

|=|

MQ

|=2，
∴cos＜MP，MQ＞=

MP • MQ

| MP |•| MQ |

=-

1

2

． （9分）
∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l₂的距離d=

1

2

r=1，
所以

|k+2k|

k2+1

=1，
∴k=±

2

4

；
所求直線的方程為x+2

2

y+2=0或X-2

2

y+2=0． （12分）

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．