Question

已知函數f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos2

x

3

-

3

2

（1）求f（x）的最小正周期及其對稱中心；
（2）如果三角形ABC的三邊 a．b．c 滿足b²=ac，且邊b所對角為 x，試求x的范圍及此時函數f（3x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用輔助角公式以及降冪公式把函數f（x）化簡為sin（

2x

3

+

π

3

），再利用周期和對稱中心的求法代入即可求得結論．
（2）先利用余弦定理以及基本不等式得到cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，求出x∈（0，

π

3

]；再代入f（3x）利用正弦函數的單調性即可求出函數f（3x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos2

x

3

-

3

2

=

1

2

sin

2x

3

+

3

1+cos 2x 3

2

-

3

2

=sin

2x

3

cos

π

3

+cos

2x

3

sin

π

3

=sin（

2x

3

+

π

3

）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2 3

=3π（5分）
f（x）的對稱中心為（

3kπ

2

-

π

2

，0）  （k∈Z）．（6分）
（2）∵b²=ac，∴cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．（8分）
又x∈（0，π），∴x∈（0，

π

3

]，
而f（3x）=sin（2x+

π

3

），由2x+

π

3

∈（

π

3

，π]（10分）
∴f（3x）=sin（2x+

π

3

）∈[0，1]（12分）

點評：本題第一問主要考查三角函數中的恒等變換應用以及三角函數的周期性和對稱中心及其求法，解決問題的關鍵在于正確利用輔助角公式以及降冪公式把函數f（x）化簡．