Question

已知函數，以點為切點作函數圖像的切線，直線與函數圖像及切線分別相交于，記．
（1）求切線的方程及數列的通項；
（2）設數列的前項和為，求證：．

Answer 1

（1）切線的方程為，數列的通項公式為；（2）詳見試題解析．

試題分析：（1）由導數的幾何意義，先對函數求導，求導函數在處的函數值，即得切線的斜率，最后由直線的點斜式方程即可求得切線的方程，進一步結合已知條件可得的坐標，由兩點間的距離公式可得數列的通項；（2）首先寫出數列的前項和的表達式，根據數列通項公式的結構特征選擇裂項相消法求和，進而可證明不等式．
試題解析：（1）對求導，得，則切線方程為：，即，易知，，
由知=．
（2）==，===＜1. 項和的求法（裂項相消法）；3．數列不等式的證明．