Question

設函數f(x)＝x³－ax²－ax，g(x)＝2x²＋4x＋c.
(1)試問函數f(x)能否在x＝－1時取得極值？說明理由；
(2)若a＝－1，當x∈[－3,4]時，函數f(x)與g(x)的圖象有兩個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）無極值（2）－＜c＜或c＝－9.

(1)由題意f′(x)＝x²－2ax－a，
假設在x＝－1時f(x)取得極值，則有f′(－1)＝(－1)²－2a(－1)－a＝0，解得a＝－1.
而此時f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，所以函數f(x)在R上為增函數，函數無極值．
這與f(x)在x＝－1處有極值矛盾，所以f(x)在x＝－1處無極值．
(2)設f(x)＝g(x)，則有x³－ax²－ax＝2x²＋4x＋c，
所以c＝x³－x²－3x.
設F(x)＝x³－x²－3x，則F′(x)＝x²－2x－3，令F′(x)＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3.
當x變化時，F′(x)，F(x)的變化情況如表所示：

x	－3	(－3，－1)	－1	(－1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		＋	0	－	0	＋
F(x)	－9	?	極大值	?	極小值	?	－

由表可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函數，在[－1,3]上是減函數．
當x＝－1時，F(x)取得極大值F(－1)＝；當x＝3時，F(x)取得極小值F(3)＝－9，而F(－3)＝－9，F(4)＝－.
如果函數f(x)與g(x)的圖象有兩個公共點，則函數F(x)與y＝c有兩個公共點，所以－＜c＜或c＝－9.