Question

【題目】已知過原點的動直線l與圓C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的兩點A，B．
（1）求圓C1的圓心坐標；
（2）求線段AB 的中點M的軌跡C的方程；
（3）是否存在實數 k，使得直線L：y=k（x﹣4）與曲線 C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圓C1：x2+y2﹣6x+5=0，

整理，得其標準方程為：（x﹣3）2+y2=4，

∴圓C1的圓心坐標為（3，0）

（2）解：設當直線l的方程為y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），

聯立方程組 ，

消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，

由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜

由韋達定理，可得x1+x2= ，

∴線段AB的中點M的軌跡C的參數方程為 ，其中﹣ ＜k＜ ，

∴線段AB的中點M的軌跡C的方程為：（x﹣ ）2+y2= ，其中 ＜x≤3

（3）解：結論：當k∈（﹣ ， ）∪{﹣ ， }時，直線L：y=k（x﹣4）與曲線C只有一個交點．

理由如下：

聯立方程組 ，

消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，

令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）16k2=0，解得k=± ，

又∵軌跡C的端點（ ，± ）與點（4，0）決定的直線斜率為± ，

∴當直線L：y=k（x﹣4）與曲線C只有一個交點時，

k的取值范圍為（﹣ ， ）∪{﹣ ， }

【解析】（1）通過將圓C1的一般式方程化為標準方程即得結論；（2）設當直線l的方程為y=kx，通過聯立直線l與圓C1的程，利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數方程與普通方程的相互轉化，計算即得結論；（3）通過聯立直線L與圓C1的方程，利用根的判別式△=0及軌跡C的端點與點（4，0）決定的直線斜率，即得結論．