Question

【題目】已知函數f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）若對于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=0時，f（x）=﹣1＜0恒成立，

當m≠0時，若f（x）＜0恒成立，

則

解得﹣4＜m＜0

綜上所述m的取值范圍為（﹣4，0]

（2）解：要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，

即m（x﹣ ）2+ m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．

令g（x）=m（x﹣ ）2+ m﹣6，x∈[1，3]

當m＞0時，g（x）是增函數，

所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，

解得m＜ ．

所以0＜m＜ 當m=0時，﹣6＜0恒成立．

當m＜0時，g（x）是減函數．

所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，

解得m＜6．

所以m＜0．

綜上所述，m＜

【解析】（1）若f（x）＜0恒成立，則m=0或 ，分別求出m的范圍后，綜合討論結果，可得答案．（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，則m（x﹣ ）2+ m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立，結合二次函數的圖象和性質分類討論，綜合討論結果，可得答案．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．