Question

【題目】如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上．

（Ⅰ）求異面直線D1E與A1D所成的角；

（Ⅱ）若平面D1EC與平面ECD的夾角大小為45°，求點B到平面D1EC的距離．

Answer 1

【答案】Ⅰ 90°；Ⅱ .

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 方法一：用幾何法證明AB⊥平面AA1D1D可得結論；方法二：用坐標法證明即可得到結論．(Ⅱ) 在（Ⅰ）中坐標法的基礎上可得平面CED1的一個法向量為，又為平面DEC的一個法向量，根據兩平面所成角等于45°可得，然后根據線面角的定義可求得點到面的距離．

試題解析：

（Ⅰ）解法1：連結AD1．由從AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D，

∵AB⊥平面AA1D1D，

∴ AD1是D1E在平面AA1D1D內的射影．

根據三垂線定理得A1D⊥D1E，

∴ 異面直線D1E與A1D所成的角為90°．

解法2：如圖，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則D（0,0,0），A1（1,0,1），D1（0,0,1），

∴，

設，則

∴，

∴ DA1⊥，

∴異面直線D1E與A1D所成的角為90°．

（Ⅱ）設為平面CED1的一個法向量，

由，可得，

令，可得．

由題意得為平面DEC的一個法向量．

∵平面D1EC與平面ECD的夾角大小為45°，

∴，

解得或（舍去）．

∴.

設CB和平面D1EC所成的角為，

又，

∴點B到平面D1EC的距離．

即點B到平面D1EC的距離為．