Question

經市場調查，某超市的一種商品在過去的一個月內（以30天計），銷售價格（元）與時間t（天）的函數關系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，銷售量（件）與時間t（天）的函數關系近似滿足g（t）=125-|t-25|．
（1）試寫出該商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數表達式；
（2）求該商品的日銷售金額w（t）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）函數關系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日銷售金額w（t）關于時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數關系式；
（2）由函數關系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，判斷函數的單調性判斷出函數的最值，即該商品的日銷售金額w（t）的最值．

解答：解：（1）由題意，得
w(t)=f(t)•g(t)=100(1+

1

t

)(125-|t-25|)
=

100(t+ 100 t +101) 100(149+ 150 t -t)

(1≤t＜25，t∈N) (25≤t≤30，t∈N)

（2）①當1≤t＜25時，因為t+

100

t

≥20，
所以當t=10時，w（t）有最小值12100；
當t=1時，w（t）有最大值20200；
②當25≤t≤30時，∵

150

t

-t在[25，30]上遞減，
∴當t=30時，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，
∴當t=10時，
該商品的日銷售金額w（t）取得最小值為12100．
最大值為20200．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．