Question

【題目】設為橢圓：的內接三角形，其中，為橢圓與軸正半軸的交點，直線、斜率的乘積為，為的重心.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，直線過原點.

此時，，（定值）.

設點，.

求的取值范圍等價于求函數的取值范圍，其中，.

設，，

. ①

方程①對應的曲線是焦點為、且長軸長為的橢圓.

（1）當方程①過點、時，由橢圓定義，知方程①可化為.

此時，橢圓上的任意一點，滿足，

當且僅當，時，上式等號成立，即橢圓上的其他點均在橢圓外.

故方程①過橢圓上的其他點時會使增大.

從而，.

（2）當方程①過點、時，由橢圓定義，知方程①可化為.

此時，橢圓上的任意一點，滿足，

當且僅當，時，上式等號成立，即橢圓上的其他點均在橢圓內.

故方程①過橢圓上的其他點時會使減小.

從而，.

又等號成立時、中有一點會與重合，因此，等號不成立.

綜上，當方程①經過橢圓上其他點時，由介值定理知.

故的取值范圍是.