Question

已知在空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，點E、F分別是邊BC和AD上的點，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=

7

，求異面直線AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：在BD上取靠近B的三等分點G，連接FG、GE，可證∠EGF或其補角就是異面直線AB和CD所成角，在△EFG中由余弦定理可得，∠EGF=120°，可得答案．

解答：解：（如圖）在BD上取靠近B的三等分點G，連接FG、GE，
在△BCD中，可得

BG

GD

=

BE

EC

，故有EG∥DC，
同理在△ABD中，可得GF∥AB，
所以∠EGF或其補角就是異面直線AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，

EG

CD

=

1

3

，得EG=1，
在△ABD中，由FG∥AB，AB=3，

FG

AB

=

2

3

，得FG=2，
在△EFG中，由EG=1，FG=2，EF=

7

，由余弦定理可得，
cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=-

1

2

，所以∠EGF=120°，
所以異面直線AB和CD所成角為60°

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及余弦定理的應用，屬中檔題．