Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣a）e1﹣x ， 其中a∈R． （Ⅰ）求函數(shù)f'（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）證明：a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分而不必要條件．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）e1﹣x，

得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）e1﹣x，

令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．

所以當a=﹣2時，函數(shù)f′（x）有且只有一個零點：x=2；

當a≠﹣2時，函數(shù)f′（x）有兩個相異的零點：x=2，x=﹣a．

（Ⅱ）證明：①當a=﹣2時，f′（x）≤0恒成立，此時函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減，

所以，函數(shù)f（x）無極值．

②當a＞﹣2時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以，a≥0時，f（x）的極小值為f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．

又x＞2時，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，

所以，當x＞2時，f（x）=）=（x2+ax﹣a）e1﹣x＞0恒成立．

所以，f（﹣a）=﹣ae1+a為f（x）的最小值．

故a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分條件．

③當a=﹣5時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

因為當x＞5時，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，

又f（2）=﹣e﹣1＜0，

所以，當a=﹣5時，函數(shù)f（x）也存在最小值．

所以，a≥0不是函數(shù)f（x）存在最小值的必要條件．

綜上，a≥0是函數(shù)f（x）存在最小值的充分而不必要條件

【解析】（Ⅰ）先求導，再由導函數(shù)為0，解得即可；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）分類討論，分別利用導數(shù)和函數(shù)的最值的關系以及充分不必要條件的定義即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．