Question

【題目】已知函數f（x）＝ax－3lnx（a為常數）與函數g（x）＝－xlnx在x＝1處的切線互相平行．

（1）求a的值；

（2）求函數y＝f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）a＝2（2）最小值為3－3ln；最大值為2

【解析】

（1）由導數的幾何意義可得f′（1）＝g′（1），再求解即可；

（2）先利用導數研究函數數y＝f（x）在[1，2]的單調性，然后求最值即可得解.

解：（1）f′（x）＝a－（x>0），g′（x）＝－（lnx＋1），由已知有f′（1）＝g′（1），

即，解得a＝2.

（2）由（1）得：f（x）＝2x－3lnx.

令f′（x）＝2－＝0，解得x＝，

∴當x∈（1,）時，f′（x）<0，f（x）單調遞減；

當x∈（,2）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增．

又f（1）＝2，f（2）＝4－3ln2，f（2）－f（1）＝2－3ln2＝ln<0.

∴函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（）＝3－3ln，最大值為f（1）＝2，

故函數f（x）在[1，2]上的最小值為3－3ln，最大值為2.