Question

已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，且橢圓C上一點與兩個焦點F₁，F₂構成的三角形的周長為2+2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F₂作直線l 與橢圓C交于A，B兩點，設，若，求的取值范圍．

Answer 1

(1) ； (2)

試題分析：(1)由題設知   橢圓的標準方程為
(2)因為當直線的斜率不存在時， ，不適合題意，所以直線的斜率存在，設為，直線的方程為，它與橢圓的兩交點坐標，則由得
通過方程組，借助韋達定理，得到，結合得到與的關系式，并且可由得到的取值范圍；
另一方面，因為由前述的取值范圍可使問題得到解決.
試題解析：
解：(1)由題意知： ，且 ，                    2分
解得 ，                            3分
橢圓的方程為 .                            4分
(2)由題意得直線 的斜率存在，右焦點 ，可設直線 的方程為： 
由 得 
由題意 
設，則                 6分
由得                               7分
 
 
                                   9分
令 ， 在上單調遞增，
可得 
 
故，解得                           2分
 
=                   13分
 
即的取值范圍是                         14分