Question

（12分）已知是函數的一個極值點。

（1）求；          （2）求函數的單調區間；

（3）若直線與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍。

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）的單調增區間是,的單調減區間是.（Ⅲ）的取值范圍為。

【解析】本試題主要是考察了導數在研究函數的中 運用，利用函數的極值點可知導數為零得到參數的取值，然后求解析式，并利用導數來判定函數的單調性以及研究常函數與函數的交點的問題的綜合運用。

（1）利用函數在是函數的一個極值點，說明了該點的導數值為零，得到參數的值。

（2）利用第一問的結論求解導數，判定單調區間。

（3）要研究常函數與已知函數的交點問題，關鍵是弄清楚，函數y=f(x)與坐標軸的位置關系即可。

解：（Ⅰ）因為,所以,因此.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,

當時，,當時，,所以的單調增區間是

,的單調減區間是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或時，,所以的極大值為，極小值為,

因此,,

所以在的三個單調區間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當,因此，的取值范圍為。