Question

【題目】某工廠共有10臺機器，生產一種儀器元件，由于受生產能力和技術水平等因素限制，會產生一定數量的次品．根據經驗知道，若每臺機器產生的次品數P（萬件）與每臺機器的日產量x（萬件）（4≤x≤12）之間滿足關系：P=0.1x2﹣3.2lnx+3，已知每生產1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每產生1萬件裝次品將虧損1萬元．（利潤=盈利﹣虧損） （I）試將該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤y（萬元）表示為x的函數；
（II）當每臺機器的日產量x（萬件）寫為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，所獲得的利潤為 y=10[2（x﹣p）﹣p]=10（2x﹣3p）=20x﹣30p=20x﹣3x2+96lnx﹣90（4≤x≤12）
（II）由（Ⅰ）得y'=20﹣6x+ = ，
令y'=0，得到x=6或x=﹣ （舍去）；
所以當4≤x＜6，y'＞0，函數在[4，6]為增函數，當6＜x＜12時，y'＜0，函數在（6，12）為減函數；
所以當x=6時，函數去極大值，即最大值，
所以當x=6時利潤最大，為20×6﹣3×62+96ln6﹣90=96ln6﹣78（萬元），
當每臺機器的日產量為6（萬件）時所獲得的利潤最大，最大利潤為96ln6﹣78萬元．
【解析】（Ⅰ）利用利潤=盈利﹣虧損，得到y與p的關系，將p代入整理即可；（Ⅱ）對（Ⅰ）的解析式求導，判定取最大值時的x值，求最大利潤．