Question

橢圓M的中心在坐標原點D，左、右焦點F₁，F₂在x軸上，拋物線N的頂點也在原點D，焦點為F₂，橢圓M與拋物線N的一個交點為A（3，）．

（I）求橢圓M與拋物線N的方程；
（Ⅱ）在拋物線N位于橢圓內（不含邊界）的一段曲線上，是否存在點B，使得△AF₁B的外接圓圓心在x軸上？若存在，求出B點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）
不存在滿足題意的點，使得△的外接圓圓心在軸上.

本試題主要是考查了拋物線與橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓、拋物線、圓的綜合知識的運用。
（1）依題意設橢圓的方程為（），拋物線的方程為，利用點在拋物線上得到其方程，對于橢圓的方程結合性質也可以得到。
（2）假設存在點，使得△的外接圓圓心在軸上，設該圓心為，
則，那么聯立拋物線和橢圓的方程來分析是否有符合題意的三角新外接圓的圓心在x軸上。