Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別是的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且與線段交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求直線的方程；

（3）若的面積是的面積的倍，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用橢圓的定義即可求出的值，從而求出，從而得到答案.

（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再利用弦長(zhǎng)公式即可得到答案.

（3）依題設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的斜率，根據(jù)題目條件即可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而求出直線的斜率，從而求出直線直線的方程.

（1）依題知則橢圓的右焦點(diǎn)為，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且，

又，所以，所以

所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率存在，

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

設(shè)直線 與該橢圓的交點(diǎn)為 ，

由可得，

易知，且，

則

，所以，

又，所以直線的方程為.

（3）設(shè)，，則，

易知，.由，，

所以直線的方程為，即.

若的面積是的面積的4倍，

則,由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得,

所以，所以即 ① .

設(shè)直線的方程為，

由 得，

由 得，

代入①可得,

化簡(jiǎn)得，解得，

所以直線的方程為：.