Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+ax2+1，（a∈R）．
（1）若f（x）圖象上橫坐標為1的點處存在垂直于y軸的切線，求a的值；
（2）若f（x）在區間（﹣1，2）內有兩個不同的極值點，求a取值范圍；
（3）當a=1時，是否存在實數m，使得函數g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象于函數f（x）的圖象恰有三個不同的交點，若存在，試求出實數m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，f′（1）=0

∵f′（x）=﹣3x2+2ax

﹣3（1）2+2a1=0，

∴a=

（2）解：若f（x）在區間（﹣1，2）內有兩個不同的極值點，

則方程f′（x）=﹣3x2+2ax=0在區間（﹣1，2）內有兩個不同的實根，

∴△＞0，f′（﹣1）＜0，f′（2）＜0，﹣1＜ ＜2，

解得：﹣ ＜a＜3且a≠0

但a=0時，f（x）=﹣x3+1無極值點，

∴a的取值范圍為（﹣ ，0）∪（0，3）

（3）解：a=1時，f（x）=﹣x3+x2+1，

要使函數f（x）與g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象恰有三個交點，

等價于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1，

即方程x2（x2﹣4x+1﹣m）=0恰有三個不同的實根．

∵x=0是一個根，

∴應使方程x2﹣4x+1﹣m=0有兩個非零的不等實根，

由△=16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1，

∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞），

使用函數f（x）與g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象恰有三個交點

【解析】（1）先求出函數的導數，再由f′（1）=0求解a．（2）將“f（x）在區間（﹣1，2）內有兩個不同的極值點”轉化為“方程f′（x）=0在區間（﹣1，2）內有兩個不同的實根”，用△＞0求解．（3）a=1，“要使函數f（x）與g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象恰有三個交點”即為“方程x2（x2﹣4x+1m）=0恰有三個不同的實根”．因為x=0是一個根，所以方程x2﹣4x+1﹣m=0應有兩個非零的不等實根，再用判別式求解．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．