Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（1）求三棱錐E-ABD的體積；
（2）求證：B₁D₁⊥AE；
（3）求證：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）直接利用棱錐的體積的公式求的結果．
（2）要證線線垂直，通過線面垂直進行轉化．
（3）通過做平面B₁DE的延展面，通過線面平行的判定來進行證明．

解答： （1）解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
∴CE=1
則：VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE=

2

3

（2）證明：在正方體中，CE⊥平面ABCD
∴CE⊥BD
在正方形ABCD中，AC⊥BD
∴BD⊥平面ACE
∵B₁D₁∥BD
∴B₁D₁⊥平面ACE
∴B₁D₁⊥AE
（3）證明：在側棱AA₁上取中點F，連結DF，B₁F，EF
由于E、F分別是側棱A₁A和C₁C的中點
所以：DF∥B₁E
∴D、F、B₁、E四點共面
∴AC∥EF
AC?平面B₁EDF  EF?平面B₁EDF
∴AC∥平面B₁EDF
平面B₁EDF和平面B₁DE重合∴
∴AC∥平面B₁DE．

點評：本題考查的知識要點：棱錐的體積，線面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的判定定理，重點考查空間想象能力和轉化能力．