Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， 若Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14（m≥2，且m∈N*）
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足 =log2bn（n∈N+），求數列{（an+6）bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14， ∴am=Sm﹣Sm﹣1=4，am+1+am+2=Sm+2﹣Sm=14，
設數列{an}的公差為d，則2am+3d=14，
∴d=2．
∵Sm= ×m=0，∴a1=﹣am=﹣4，
∴am=﹣4+2（m﹣1）=4，
解得m=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6，
∴n﹣3=log2bn ， 即bn=2n﹣3 ．
∴（an+6）bn=2n2n﹣3=n2n﹣2 ．
設數列{（an+6）bn}的前n項和為Tn ，
∴Tn=1× +2×1+3×2+…+…n2n﹣2 ， ①
∴2Tn=1×1+2×2+3×22+…+n2n﹣1 ， ②
① ﹣②，得﹣Tn= +1+2+…+2n﹣2﹣n2n﹣1
= ﹣n2n﹣1
=（1﹣n）2n﹣1﹣ ．
∴Tn=（n﹣1）2n﹣1+
【解析】（I）計算am ， am+1+am+2 ， 利用等差數列的性質計算公差d，再代入求和公式計算m；（II）求出an ， bn ， 得出數列{（an+6）bn}的通項公式，利用錯位相減法計算．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．