Question

【題目】已知 在橢圓C： 上，F為右焦點，PF⊥垂直于x軸，A，B，C，D為橢圓上的四個動點，且AC，BD交于原點O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）判斷直線l： 與橢圓的位置關系；
（3）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）滿足 = ，判斷kAB+kBC的值是否為定值，若是，請求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：PF⊥垂直于x軸，則c= ， = ，

∴ = = ，

解得：a=2，b=1，

∴橢圓的標準方程：

（2）

解：將直線l： ，轉化成（ +y﹣ ）m+（ ﹣y﹣ ）n=0，

由m，n∈R，則 ，解得： ，

∴動直線l恒過P點，

由P在橢圓上，

∴直線l與橢圓的位置關系是相切或相交

（3）

解：∵ = ，則4y1y2=x1x2，

若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時），不滿足4y1y2=x1x2；

直線AB的斜率存在且不為0時，設直線方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，①

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∵4y1y2=x1x2，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∴（4k2﹣1）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=0，

即（4k2﹣1）× +4km（﹣ ）+4m2=0．

整理得：k=± ．

∵A、B、C、D的位置可以輪換，∴AB、BC的斜率一個是 ，另一個就是﹣ ．

∴kAB+kBC= ﹣ =0，是定值．

不妨設kAB=﹣ ，則x1+x2=2m，x1x2=2（m2﹣1）．

設原點到直線AB的距離為d，則S△AOB= |AB|d= |x1﹣x2| = = = ≤1．

當m2=1時滿足①取等號．

∴S四邊形ABCD=4S△AOB≤4，即四邊形ABCD面積的最大值為4

【解析】（1）由PF⊥垂直于x軸，則c= ， = ，及a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）將直線方程化簡，即可求得 ，則動直線l恒過P點，直線l與橢圓的位置關系是相切或相交；（3）由 = ，則4y1y2=x1x2 ， 當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及4y1y2=x1x2 ， 求得k，把三角形AOB的面積化為關于m的函數，利用基本不等式求其最值，進一步得到四邊形ABCD面積的最大值．