Question

設(shè)a_n是(1+

x

)n的展開式中x項的系數(shù)（n=2，3，4，…），則

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)=

2

．

Answer 1

分析：由題意可知：a_n=

C

2 n

=

n(n+1)

2

，故

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），于是

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]，

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)的值可求．

解答：解：∵a_n是(1+

x

)n的展開式中x項的系數(shù)（n=2，3，4，…），
∴a_n=

C

2 n

=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴是

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

），
∴

lim

n→∞

(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

2(1-

1

n+1

)=2．
故答案為：2．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用及極限及其運算，著重考查裂項法求和及極限求值，屬于中檔題．