Question

數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，a_n是(3-

x

)n的二項展開式中x的系數，設bn=

3n

an

，Tn為數列{b_n}的前n項和，則a_n=

1，n=1 n(n-1) 2 •3n-2，n≥2

，T₉₉=

229

11

．

Answer 1

分析：利用(3-

x

)n的二項展開式的通項公式可求得二項展開式中x的系數，即當n≥2時的a_n，

解答：解：設(3-

x

)n的二項展開式的通項公式為T_r+1=

C

r n

（-1）^r•3^n-r•(

x

)r，
令r=2，則T₃=

C

2 n

3^n-2x，
∴當n≥2時，a_n=

n(n-1)

2

•3^n-2，
∴a_n=

1，n=1 n(n-1) 2 •3n-2，n≥2

又b_n=

3n

an

，數列{b_n}的前n項和為T_n，
∴當n≥2時，b_n=

3n

3n-2• n(n-1) 2

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

），又b₁=3，
∴T₉₉=3+18[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

98

-

1

99

）]
=3+18（1-

1

99

）
=3+

196

11

=

229

11

．
故答案為：

1，n=1 n(n-1) 2 •3n-2，n≥2

；

229

11

．

點評：本題考查二項式定理，考查數列的裂項法求和，考查分類討論思想與化歸思想的綜合應用，屬于難題．