Question

設a_n是關于x的方程xⁿ+nx-1=0（n∈N^*，x∈（0，+∞））的根．試證明：
（1）a_n∈（0，1）；
（2）a_n+1＜a_n；
（3）a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．

Answer 1

證明：（1）設f（x）=xⁿ+nx-1，
∵f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
且函數f（x）的圖象在（0，+∞）上是連續的，
∴f（x）在（0，1）上至少有一個零點，
即方程xⁿ+nx-1=0在（0，1）內至少有一個根．
∵x∈（0，+∞），
∴f′（x）=nx^n-1+n＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
∴方程xⁿ+nx-1=0在（0，+∞）內有唯一根，
且根在（0，1）內，即a_n∈（0，1）．
（2）方法一：∵，
且函數f（x）的圖象在（0，+∞）上是連續的，
∴f（x）在內至少有一個零點，
即方程xⁿ+nx-1=0在內至少有一個根．
又由（1）知函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴方程xⁿ+nx-1=0在內有唯一根，
∴．
∴，
∴a_n+1＜a_n．　　　　　     
方法二：由（1）知，a_nⁿ+na_n-1=0，
a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-1=0，
兩式相減得：a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n=0，
若存在n∈N^*，使得a_n+1≥a_n，
則a_n+1≥a_n＞a_nⁿ，
從而a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n＞（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n=a_n+1-a_nⁿ+na_n+1-na_n＞0，矛盾．
所以a_n+1＜a_n．
（3）由題設得，，
當n∈N^*時，．
∴．　　　　　　　　　
當n≥3時有a₁²+a₂²+a₃²+…
…
=
=．
綜上a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．             　 
分析：（1）設f（x）=xⁿ+nx-1，由f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，且函數f（x）的圖象在（0，+∞）上是連續的，知f（x）在（0，1）上至少有一個零點，即方程xⁿ+nx-1=0在（0，1）內至少有一個根，由此能夠證明a_n∈（0，1）．
（2）法一：由，且函數f（x）的圖象在（0，+∞）上是連續的，知f（x）在內至少有一個零點，由函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，知方程xⁿ+nx-1=0在內有唯一根，由此能證明a_n+1＜a_n．　　　　　     （9分）
法二：由a_nⁿ+na_n-1=0，a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-1=0，得：a_n+1ⁿ⁺¹+（n+1）a_n+1-a_nⁿ-na_n=0，由此利用反證法能夠證明a_n+1＜a_n．
（3）由題設得，，當n∈N^*時，．故．由此能夠證明a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．
點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，計算繁瑣，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，注意反證明法的靈活運用，仔細解答，注意培養計算能力．