Question

【題目】如圖，某登山隊在山腳處測得山頂的仰角為，沿傾斜角為（其中）的斜坡前進后到達處，休息后繼續行駛到達山頂．

（1）求山的高度；

（2）現山頂處有一塔．從到的登山途中，隊員在點處測得塔的視角為．若點處高度為，則為何值時，視角最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，視角最大.

【解析】

（1）解法一：計算出的值，然后在中，過作，垂足為，利用銳角三角函數的定義求出，然后在中利用銳角三角函數可求出；

解法二：過作于點，過作于點，計算出、，設，可得出，，由勾股定理可解出的值，即可得出山高；

（2）過作于，計算出和，利用兩角差的正切公式可得出關于的表達式，通過化簡后利用基本不等式可求出的最大值，利用等號成立求出的值，即可得出該問題的解答.

（1）法一：因為，是銳角，所以，，

所以，

在中，過作，垂足為.

因為，所以.

在中，，所以山的高度為；

法二：過作于點，過作于點，

在中，，，所以，，

所以，.

設，在直角中，，，

由于，所以

因為，所以，所以山的高度為；

（2）過作于，因為，所以，

因為在上，，所以，

所以，.

所以，.

令，所以，

則.

當且僅當，即時，即時取得最大值.

所以，當時，視角最大.