Question

【題目】已知二面角α﹣l﹣β為60°，在其內(nèi)部取點(diǎn)A，在半平面α，β內(nèi)分別取點(diǎn)B，C．若點(diǎn)A到棱l的距離為1，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，連接MN，AM，AN，DE，根據(jù)對(duì)稱性三角形ADC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)長(zhǎng)度最短，結(jié)合對(duì)稱性和余弦定理求解.

作A關(guān)于平面α和β的對(duì)稱點(diǎn)M，N，交α和β與D，E，

連接MN，AM，AN，DE，

根據(jù)對(duì)稱性三角形ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC＝MB+BC+CN，

當(dāng)M，B，C，N共線時(shí)，周長(zhǎng)最小為MN設(shè)平面ADE交l于，O，連接OD，OE，

顯然OD⊥l，OE⊥l，

∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，

∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根據(jù)余弦定理，

故MN2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3，

故MN．

故答案為：．