Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=f（4-x），又函數f（x）在[2，+∞）上單調遞減．
（1）求不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集；
（2）設（1）中不等式的解集為A，對于任意的t∈A，不等式x²+（t-2）x+1-t＞0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知f（x）=f（4-x），可得直線x=2是函數圖象的對稱軸，又函數f（x）在[2，+∞）單調遞減我們易判斷出函數的單調性，進而根據函數的單調性可將不等式f（3x）＞f（2x-1）轉化為一個絕對值不等式，進而得到答案．
（2）由（1）易得參數t的取值范圍，根據二次函數的圖象和性質，我們可以構造出關于x的不等式組，解不等式組即可求出實數x的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=f（4-x），
∴f（x）圖象關于直線x=2對稱，
又∵f（x）在[2，+∞）上單調遞減，
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）等價于|3x-2|＜|2x-1-2|，
∴（3x-2）²＜（2x-3）²，
∴（5x-5）（x+1）＜0，
∴-1＜x＜1，
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集為（-1，1）；
（2）令g（t）=x²+（t-2）x+1-t，
∴g（t）=（x-1）t+（x²-2x+1）是關于t的函數，
∵（1）中不等式的解集為A，
∴A=（-1，1），
∵t∈（-1，1）時，不等式x²+（t-2）x+（1-t）＞0恒成立，
∴g（t）＞0在t∈（-1，1）上恒成立，
①當x=1時，0＞0，顯然不成立，
∴x=1不符合題意；
②當x≠1時，則有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，
即

x2-3x+2≥0 x2-x≥0

，
∴

x≤1或x≥2 x≤0或x≥1

，
∴x≤0或x≥2．
綜合①②可得，實數x的取值范圍為x≤0或x≥2．

點評：本題考查了函數的對稱性和函數的單調性的綜合運用，抽象函數的解不等式問題，解題的關鍵是將不等式進行合理的轉化，然后利用單調性去掉“f”．考查了函數的恒成立問題，對于函數的恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．屬于中檔題．