Question

（2012•陜西三模）已知a＞0，函數f(x)=

a

x

+lnx-1（其中e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2bx+4，當a=1時，若對任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f′(x)=

1

x

-

a

x2

=0，可得x=a，進而a≥e時，函數f（x）在區間（0，e]是減函數；0＜a＜e時，函數f（x）在區間（0，a]是減函數，[a，e]是增函數，故可求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1時，函數f（x）在x₁∈（0，e）的最小值為0，對任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則需要f（x）_min≥g（x）_min，根據g（x）=（x-b）²+4-b²，即可求出滿足條件的實數b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令f′(x)=

1

x

-

a

x2

=0，可得x=a
若a≥e時，函數f（x）在區間（0，e]是減函數，∴f(x)min=f(e)=

a

e

；
0＜a＜e時，函數f（x）在區間（0，a]是減函數，[a，e]是增函數，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1時，函數f（x）在x₁∈（0，e）的最小值為0，
對任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則需要f（x）_min≥g（x）_min，
g（x）=（x-b）²+4-b²
當b≤1時，g（x）_min=g（1）=5-2b≤0不成立
當b≥3時，g（x）_min=g（3）=13-6b≤0恒成立
當1＜b＜3時，g（x）_min=g（b）=4-b²≤0此時2≤b＜3
綜上知，滿足條件的實數b的取值范圍{b|b≥2}

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是將對任意x₁∈（0，e），存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），轉化為f（x）_min≥g（x）_min求解．