Question

【題目】已知函數.

（1）討論的導函數零點的個數；

（2）若的最小值為,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當或時,只有一個零點；當或時,有兩個零點；（2）

【解析】

(1)求導因式分解可得,再分析導函數中的單調性,進而根據函數零點的大小關系判斷零點的個數即可.

(2)根據(1)中所得的單調性,分與兩種情況討論,分析函數的極值點所在的區間,結合函數的單調性分析是否滿足最小值為即可.

解：（1）的定義域為,

,

令,解得或,

令,則,故在上單調遞增.

故.又當時.

故當或時,只有一個零點；

當或時,有兩個零點.

（2）當時,,所以在上單調遞減,在上單調遞增,則在處取得最小值,符合題意.

當時,則在上單調遞增,則必存在正數使得.

若,則,在和上單調遞增,在上單調遞減,

又,故不符合題意

若,則,所以,在上單調遞增,又,故不符合題意.

若,則,在和上單調遞增,在上單調遞減,

當,時,與的最小值為矛盾.

綜上,的取值范圍為.