Question

【題目】過拋物線上一點作直線交拋物線E于另一點N.

（1）若直線MN的斜率為1，求線段的長.

（2）不過點M的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經過點M，問動直線l是否恒過定點．如果有求定點坐標，如果沒有請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有，定點．

【解析】

（1）將點代入拋物線方程求出，可得拋物線方程，求出直線的方程，將直線與拋物線聯立求出交點，從而利用兩點間的距離公式即可求解.

（2）設出直線AB的方程：，將直線與拋物線聯立消，利用，可得，設，利用韋達定理，結合，利用向量數量積的坐標運算整理可得，從而可得，代入直線方程即可求解.

（1）把代入中，得

直線的方程：，

即：與聯立

得：，

∴，；∴

∴．

（2）設直線AB的方程為：與聯立，

得：，

設，

，即

，

∵，∴

∴

整理得：

代入得：

即

∴（舍去），（符合）

∴直線

∴

即動直線AB經過定點．