Question

【題目】如圖，長途車站P與地鐵站O的距離為千米，從地鐵站O出發有兩條道路l1，l2，經測量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角滿足tan＝（其中0＜θ＜)，現要經過P修條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點，并在A，B處設立公共自行車停放點．

（1）已知修建道路PA，PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價相等，求此時點A，B之間的距離；

（2）考慮環境因素，需要對OA，OB段道路進行翻修，OA，OB段的翻修單價分別為n元/千米和n元/千米，要使兩段道路的翻修總價最少，試確定A，B點的位置．

Answer 1

【答案】（1）（2）要使OA，OB段道路的翻修總價最少，A位于距O點3千米處，B位于距點千米處.

【解析】

（1）以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系，得到的方程，進而求得點P的坐標，

法一：由題意得,求得B點的縱坐標為3，進而得到點的坐標，即可得到答案。

法二：由題意得2mPA＝mPB，求得，根據向量相等，求得點的坐標，即可求解。

（2）法一：由題意，得到造價的表達式，設，得到要使S最小，只要y最小，分類討論，即可求解。

法二：作交OB于M，交y軸于點Q，作交OA于N，求得OQ＝1，進而得到總造價，設,要使S最小，只要y最小，即可求解。

以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系，

因為，所以，

設P（2t,t）,由OP=，得t=1，所以P（2,1）

法一：由題意得,所以BP=2PA,所以B點的縱坐標為3，

有因為點B在直線上，所以B（3,3）

所以.

法二：由題意得2mPA＝mPB，所以.

設A（a，0）（a＞0），又點B在射線y＝x（x＞0）上，所以可設B（b，b）（b＞0），

由，得所以

所以.

答：A，B之間的距離為千米.

（2）法一：設總造價為S．則

設,要使S最小，只要y最小

當軸時，A（2，0），這時OA＝2,,

所以.

當AB與x軸不垂直時，設直線AB方程為，

令y＝0，得點A的橫坐標為，所以,

令x＝y，得點B的橫坐標為，

因為且，所以k＜0或k＞1,

此時,

,

當k＜0時，y在上遞減，在（-1,0）上遞增，

所以，此時;

當k＞1時，

綜上所述，要使OA，OB段道路的翻修總價最少，A位于距O點3千米處，B位于距點千米處.

法二：如圖，作交OB于M，交y軸于點Q

作交OA于N，困為P（2，1），所以OQ＝1

又因為∠BOQ＝45°，所以,

所以,

由,得,

所以,

設總造價為S，則,

設,要使S最小，只要y最小.

當且僅當時取等號，此時.

答：要使OA,OB段道路的翻修總價最少，位于距O點3千米處，B位于距O點千米處.