Question

【題目】已知函數，則以下結論正確的是（ ）

A.函數的單調減區間是

B.函數有且只有1個零點

C.存在正實數，使得成立

D.對任意兩個正實數，，且，若則

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

A選項，對函數求導，解對應不等式，可判斷A；

B選項，令，對其求導，研究單調性，根據零點存在定理，可判斷B；

C選項，先由得到，令，用導數的方法判斷其單調性，即可判定C；

D選項，令，則，令，對其求導，判定其單調性，得到，令，根據題中條件，即可判定出D.

A選項，因為，所以，

由得，；由得，，

因此函數在上單調遞減，在上單調遞增；故A正確；

B選項，令，則顯然恒成立；

所以函數在上單調遞減；

又，，

所以函數有且僅有一個零點；故B正確；

C選項，若，可得，

令，則，

令，則，

由得；由得；

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；

因此；所以恒成立，即函數在上單調遞減，

所以函數無最小值；

因此，不存在正實數，使得成立；故C錯；

D選項，令，則，則；

令，

則，

所以在上單調遞減，則，即，

令，由，得，則，

當時，顯然成立，

所以對任意兩個正實數，，且，若則.故D正確.

故選：ABD.