Question

【題目】已知拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于，兩點.

（1）求拋物線的方程及的值；

（2）若點關于軸的對稱點為，證明：存在實數，使得.

Answer 1

【答案】（1），4；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據準線上點的坐標，得到，求出，即可得到拋物線方程；設直線的方程為，聯立直線與拋物線方程，由韋達定理，即可求出；

（2）先由（1）得，由點關于軸的對稱點為，得到，根據題意，證明直線恒過定點，再令，由，即可推出結論成立.

（1）解：因為拋物線的準線與軸交于點，

所以，

解得.

所以拋物線的方程為.

設直線的方程為，

聯立

整理得，其中，

即.

故.

（2）證明：由（1）知，

因為點關于軸的對稱點為，

所以，

則直線的方程為，

得，

得，

得，

即.

令，得，

得，

所以直線恒過定點.

所以點在線段上，

所以不妨令.

因為，

所以，

所以，

所以.

所以存在實數，使得，命題得證.