Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的極小值；

（Ⅱ）設定義在上的函數在點處的切線方程為：，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“轉點”．當時，試問函數是否存在“轉點”？若存在，求出轉點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時，函數取到極大值為，當時，函數取到極小值為-2.

（2）函數存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標.

【解析】試題分析：（1）先求導,令導數大于0得增區間,令導數小于0得減區間,根據單調性求最值. （2）求導,根據導數的幾何意義得點處切線的斜率,根據點斜式得切線方程,從而可得的解析式,因為是函數圖像和切線的交點,則.將函數求導,用導數求其單調性,討論的取值范圍判斷是否恒成立.

試題解析：解：（1）當時，

當，當，

所以函數在和單調遞增，在單調遞減，

所以當時，函數取到極大值為，

當時，函數取到極小值為-2. 6分

（2）當時，函數在其圖像上一點處的切線方程為

8分

設

且

當時，在上單調遞減，

所以當時，；

當時，在上單調遞減，

所以當時，；

所以在不存在“轉點” 11分

當時，，即在上是增函數.

當時，當時，即點為“轉點”.

故函數存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標. 12分