Question

底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PA⊥平面ABCD,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1.

(1)求二面角EACD的?大小?.

(2)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?若存在,求出點F;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析：(1)作EM⊥AD于M,?

?

∵PA⊥平面ABCD,?

∴平面PAD⊥平面ABCD.?

∴EM⊥平面ABCD.?

作MN⊥AC于N,連結(jié)NE,則NE⊥AC.∴∠ENM即為二面角E-AC-D的平面角.?

∵EM=PA=a,AM =a?,?

∴MN=AM·sin60°=a·=a.??

∴tan∠ENM=.

∴∠ENM=30°.?

∴二面角EACD的大小為30°.?

(2)法一 :取PC中點F,PE中點Q,連結(jié)FQ、BF、BQ,設(shè)AC∩BD=O,連OE,?

則OE∥BQ,QF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE.?

∴BF∥平面ACE.?

∴在棱PC上存在中點F,使BF∥平面AEC.?

法二:建系,A(0,0,0)如圖,B(a ,a ,0),D(0,a,0),C(a ,a,0),P(0,0,a),E(0,a ,a),

∴=(0,a,a),=(a,a,0),=(a,a,-a).?

設(shè)=λ=(λa,λa,-λa),又=(-a,a,a),?

∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a ,a(1-λ)).?

令=λ₁+λ₂,?

∴=λ₁(a, a,0)+λ₂(0,a,a),?

?

∴當(dāng)λ=時,=-+,即與、共面,此時F為BC中點.?

又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.?

法三:取PC中點F,由

??

?

₌,?

∴與、共面.又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.