Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

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a，點E是PD的中點．證明：
（Ⅰ）PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）PB∥平面EAC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，即可證明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）連結AC，BD相交于O，則O為BD的中點，證明PB∥OE．然后證明PB∥平面EAC．

解答：證明：（Ⅰ）∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=DA=AC=a．（2分）
∵PA=AC，∴PA=AB=a，PB=

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a，
∴PA⊥AB，同理可證PA⊥AD，（4分）
又∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．（6分）
（Ⅱ）連結AC，BD相交于O，則O為BD的中點．
∵E為PD的中點，∴PB∥OE．（8分）
又∵OE?平面EAC，PB?平面EAC，（10分）
∴PB∥平面EAC．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．