Question

在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，E是PD中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證PB∥平面ACE，只需證明PB與平面ACE內的一條直線平行即可，連接BD交AC于O，則O為AC的中點，從而OE為三角形PBD的中位線，易知EO∥PB，從而得證；
（2）作EF⊥AD，則EF為三棱錐E-ACD的高，從而可求體積．

解答：（1）證明：連接BD交AC于O，∵ABCD為菱形，則BO=OD，
連接EO，則EO∥PB
∵EO?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）解：作EF⊥AD，則EF∥PA
∵PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
∵PA=2，∴EF=1
∵底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
∴S△ACD=

3

4

×4=

3

∴三棱錐E-ACD的體積為

1

3

•

3

•1=

3

3

．

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．