Question

【題目】已知函數 ( 為實常數).
（1）若 ， ，求 的單調區間；
（2）若 ，且 ，求函數 在 上的最小值及相應的 值；
（3）設 ，若存在 ，使得 成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： 時， ，

定義域為 ，

在 上， ，當 時， ；當 時，

所以，函數 的單調增區間為 ；單調減區間為

（2）解：因為 ，所以 ， ， ，

（Ⅰ）若 ， 在 上非負（僅當 時， ），

故函數 在 上是增函數，此時

（Ⅱ）若 ， ，

當 時， ，

當 時， ，此時 是減函數；

當 時， ，此時 是增函數，

故

（3）解： ，

不等式 ，即 可化為 ．

因為 ， 所以 且等號不能同時取，

所以 ，即 ，因而 （ ）

令 （ ），又 ，

當 時， ， ，

從而 （僅當 時取等號），所以 在 上為增函數，

故 的最小值為 ，所以實數 的取值范圍是

【解析】(1)首先求出函數的導函數，解關于導函數的不等式求出函數的單調區間即可。(2)求出函數的導函數通過討論a的取值范圍求出函數的單調區間進而求出函數的最小值即可。(3)根據題意把問題轉化為（ x ∈ [ 1 , e ] ）構造函數g(x)，利用該函數的單調性即可求出a 的取值范圍。
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．