Question

已知a，b，c為正數，且兩兩不等，求證：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

Answer 1

分析：不妨設a＞b＞c＞0，化簡 2（a³+b³+c³）-a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）為 （a-b）²（a+b）+（b-c）²（b+c）+（c-a）²（c+a）＞0，從而證得不等式．

解答：證明：不妨設a＞b＞c＞0，則 （a-b）²＞0，（b-c）²＞0，（c-a）²＞0．
由于 2（a³+b³+c³）-a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-c）+b²（b-a）+c²（c-a）+c²（c-b） 
=（a-b）²（a+b）+（b-c）²（b+c）+（c-a）²（c+a）＞0，
故有 2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）成立．

點評：本題主要考查用綜比較法證明不等式，式子的變形是解題的關鍵，屬于中檔題．