Question

若n∈N^*，且n為奇數，則6ⁿ+C

1n

•6^n-1+C

2n

•6^n-2+…+C

n-1n

•6被8除所得的余數是______．

Answer 1

法一：根據題意，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-1
=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-1
又由n為奇數，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-2，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余數是6；
法二，根據題意，n∈N^*，且n為奇數，
在6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6中，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=6，
6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余數是6．
故答案為：6．