Question

給出下列命題：
①在△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，則△ABC是鈍角三角形；
②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，則△ABC是鈍角三角形；
③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，則△ABC是鈍角三角形；
④在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形．
其中正確的命題序號是

①②③

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積與實際意義可判斷①的正誤，利用三角函數的性質與誘導公式可判斷②，利用兩角和的余弦可判斷③，利用正弦定理與正、余弦的二倍角公式可判斷④．

解答：解：對于①，∵在△ABC中，

AB

•

BC

=cbcos（π-B）＞0，
∴cosB＜0，
∴B為鈍角，即△ABC是鈍角三角形，①正確；
對于②，在△ABC中，cosA•tanB•cotC＜0，則A、B、C中必有一角為鈍角，故②正確；
對于③，在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB?cos（A+B）＞0?cosC＜0，
故C為鈍角，即△ABC是鈍角三角形，③正確；
對于④，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB?

1

2

sin2A=

1

2

sin2B，
∴A=B或2A=π-2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④錯誤．
故答案為：①②③

點評：本題考查三角形的形狀判斷，考查向量的數量積，考查兩角和的余弦與二倍角公式，考查正弦定理及三角函數的性質與誘導公式，屬于三角與向量的綜合，屬于中檔題．