Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=3x2﹣4ax（a＞0）與g（x）=2a2lnx+b有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù)b的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)P（x0，y0）處的切線相同、

f′（x）=6x﹣4a，g′（x）= ，

由題意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），

即3x02﹣4ax0=2a2lnx0+b，6x0﹣4a=

由3x0﹣2a= 得x0=a或x0=﹣ a（舍去），

即有b=﹣a2﹣2a2lna．

令h（t）=﹣t2﹣2t2lnt（t＞0），則h′（t）=﹣4t（1+lnt），

于是當(dāng)﹣4t（1+lnt）＞0，即0＜t＜ 時(shí)，h′（t）＞0；

當(dāng)﹣4t（1+lnt）＜0，即t＞ 時(shí)，h′（t）＜0．

故h（t）在（0， ）為增函數(shù)，在（ ，+∞）為減函數(shù)，

于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（ ）= ，

故b的最大值為 ．

所以答案是：A．