Question

設函數y=f（x）是定義在R上的函數，并且滿足下面三個條件；
①對任意正數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(

1

9

)的值；
（Ⅱ）證明f（x）在R⁺是減函數；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f(1)，f(

1

9

)的值；令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）．同理求出f（9）后，令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）證明f（x）在R⁺是減函數；取定義域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂然后根據關系式f（xy）=f（x）+f（y），證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍，由（Ⅰ）的結果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，其中0＜x＜2，再根據單調性，列出不等式．解出取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，得f(

1

9

)=2.
（Ⅱ）取定義域中的任意的x₁，x₂
且0＜x1＜x2?

x2

x1

＞1 ?f(

x2

x1

)＜0
∴f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R⁺上為減函數．
（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：

x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2

解得x的范圍是(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

點評：此題主要考查抽象函數的一系列問題．其中涉及到函數單調性的證明，函數值的求解問題．屬于綜合性問題，涵蓋知識點較多，屬于中檔題目．