Question

【題目】設數列{an}的各項都是正數，且對任意n∈N* ， 都有（an﹣1）（an+3）=4Sn ， 其中Sn為數列{an}的前n項和．
（1）求證數列{an}是等差數列；
（2）若數列{ }的前n項和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對任意n∈N*，都有（an﹣1）（an+3）=4Sn，即 ．

∴當n≥2時，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）= ﹣ = ﹣2an﹣1，

化為（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵對任意n∈N*，an＞0．

∴an+an﹣1＞0．

∴an﹣an﹣1=2．

∴數列{an}是等差數列，公差為2

（2）解：由（1），a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

∴ =4n（n+1），

∴ = = ，n∈N*；

∴Tn=

【解析】（1）由已知利用“當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1”即可求得an與an﹣1的關系，進而證明數列{an}是等差數列．（2）利用（1）可得 = = ，n∈N* ， 再利用“裂項求和”即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．