Question

【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，貴陽一中“保護(hù)飲用水源地”課題研究小組的同學(xué)們對(duì)紅楓湖、百花湖、阿哈水庫(kù)、花溪水庫(kù)、北郊水庫(kù)5處水源地進(jìn)行了樣本采集并送環(huán)保部門進(jìn)行水質(zhì)檢測(cè).已知5處水源地中有1處被某污染物污染，需要通過檢測(cè)水源樣本來確定被污染的水源地現(xiàn)有三個(gè)檢測(cè)方案：

方案甲：對(duì)5個(gè)樣本逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定被污染的水源地為止.

方案乙：先任取1個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)到污染物，則檢測(cè)結(jié)束；若未檢測(cè)到污染物，則在剩余4個(gè)樣本中任取2個(gè)，并將這2個(gè)樣本取部分混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)到污染物，則再在這2個(gè)樣本中任取一個(gè)檢測(cè)，否則在剩余2個(gè)未檢測(cè)樣本中任取一個(gè)檢測(cè).

方案丙：先任取2個(gè)樣本，并將這2個(gè)樣本取部分混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)到污染物，則再在這2個(gè)樣本中任取一個(gè)檢測(cè)；若未檢測(cè)到污染物，則對(duì)剩余3個(gè)未檢測(cè)樣本進(jìn)行逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定被污染的水源地為止.假設(shè)隨機(jī)變量分別表示用方案甲、方案乙、方案丙進(jìn)行檢測(cè)所需的檢測(cè)次數(shù).

（1）求能取到的最大值和其對(duì)應(yīng)的概率；

（2）求的期望假設(shè)每次檢測(cè)的費(fèi)用都相同，請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)角度說明方案乙和方案丙哪一個(gè)更適合？

Answer 1

【答案】（1）的最大值為4，；的最大值為3，；的最大值為3，（2）方案丙更適合

【解析】

（1）根據(jù)題意可分析得到用方案甲最多需檢測(cè)4次,即前3次均未檢測(cè)到污染物；用方案乙最多需檢測(cè)3次,即先任取1個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)時(shí)未檢測(cè)到污染物；用方案丙最多需檢測(cè)3次,即先任取2個(gè)樣本混合檢測(cè)時(shí)未檢測(cè)到污染物,且對(duì)剩余3個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)第一次未檢測(cè)到污染物,分別求得概率即可；

（2）的可能取值為1,3,由（1）可得,即可求得；的可能取值為2,3,由（1）可得,即可求得,比較與,越小的越合適.

解:（1）用方案甲最多需檢測(cè)4次,即前3次均未檢測(cè)到污染物,

則的最大值為4,所以；

用方案乙最多需檢測(cè)3次,即先任取1個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)時(shí)未檢測(cè)到污染物,

則的最大值為3,；

用方案丙最多需檢測(cè)3次,即先任取2個(gè)樣本混合檢測(cè)時(shí)未檢測(cè)到污染物,且對(duì)剩余3個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)第一次未檢測(cè)到污染物,

則的最大值為3,.

（2）的可能取值為1,3,由（1）可知,所以,

則；

的可能取值為2,3,由（1）可知,所以,

,

因?yàn)?/span>,所以方案丙所需的檢測(cè)次數(shù)期望較少,所需的檢測(cè)費(fèi)用期望較低,所以方案丙更適合.