Question

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，
∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求證：PA⊥平面ABCDE；
（2）若G為PE中點，求證：平面PDE
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；
（4）求點C到平面PDE的距離

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）（4）a

（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2a,∴PA²+AB²=PB²，
∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，為中點，所以AG⊥PE，
∴AG⊥平面PDE                           
（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，過DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE．過G作GH⊥PD于H，連AH，由三垂線定理得AH⊥PD．
∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．                              
在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，
∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．
∴二面角A-PD-E的正弦值為．           
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA="90°, " BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中點F，連CF，
∵AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形
．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，
∴CF∥平面PDE．∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．
∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．
∴FG的長即F點到平面PDE的距離．  
在△PAE中，PA=AE=2a，F為AE中點，FG⊥PE， 
∴FG=a．∴點C到平面PDE的距離為a．