Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，a=

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線x-my+1=0與橢圓C相交于A、B兩點．
①若點M（-

7

3

，0），求證：

MA

•

MB

為定值；
②求三角形OAB面積的最大值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）通過橢圓的離心率以及a，求出b，即可求解橢圓C的方程；
（2）①點M（-

7

3

，0），設出A、B兩點坐標，將直線方程與橢圓方程聯立消掉y得x的一元二次方程，由韋達定理得x₁+x₂，利用向量數量積的坐標運算及韋達定理即可求得

MA

•

MB

為定值．
②利用弦長公式求出|y₁-y₂|以及|0N|，表示出三角形OAB面積利用換元法以及函數的單調性求出面積的最大值．

解答：解：（1）因為已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，a=

5

．
所以c=ae=

30

3

，所以b=

( 5 )2-( 30 3 )2

=

5 3

，
所以橢圓方程為：

x2

5

+

3y2

5

=1．
（2）①設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由將y=

1

m

（x+1），代入

x2

5

+

3y2

5

=1中，
得（1+

3

m2

）x²+

6

m2

x+

3

m2

-5=0，
△=

36

m4

-4（

3

m2

+1）（

3

m2

-5）=

48

m2

+20＞0，x₁+x₂=-

6

3+m2

，x₁x₂=

3-5m2

3+m2

，
所以

MA

•

MB

=（x₁+

7

3

，y₁）（x₂+

7

3

，y₂）=（x₁+

7

3

）（x₂+

7

3

）+y₁y₂
=（x₁+

7

3

）（x₂+

7

3

）+

1

m2

（x₁+1）（x₂+1）
=（1+

1

m2

）x₁x₂+（

7

3

+

1

m2

）（x₁+x₂）+

49

9

+

1

m2

=（1+

1

m2

）

3-5m2

3+m2

+（

7

3

+

1

m2

）（-

6

3+m2

）+

49

9

+

1

m2

=

4

9

；
②直線與x軸的交點為N，x-my+1=0，|y₁-y₂|=

1

|m|

|x1-x2|，
S_△AOB=

1

2

|ON||y₁-y₂|=

1

2

×1×

1

|m|

•

(- 6 3+m2 )2-4× 3-5m2 3+m2

=

5m2+12 (3+m2)2

，
令12+5m²=t，則t≥12，m²=

t-12

5

∴S_△AOB=

t (3+ t-12 5 )2

=

25 t+ 3 t +6

，
∵t≥12，t+

3

t

+6是增函數，
∴當t=12時，S_△AOB取得最大值，最大值為

10

9

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系及向量的數量積運算，考查學生的運算變形能力，考查學生分析解決問題的能力．