Question

三棱錐P-DEF中，頂點P在平面DEF上的射影為O．
（1）如果PE=PF=PD，證明O是三角形DEF的外心（外接圓的圓心）
（2）如果PE=PF=1，PD=2，EF=

2

，DE=DF=

5

，證明：O是三角形DEF的垂心（三條高的交點）

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接OD、OE、OF，由PD=PE=PF可得：Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，進而得到：OD=OE=OF，即O是三角形DEF的外心（外接圓的圓心）
（2）如果PE=PF=1，PD=2，EF=

2

，DE=DF=

5

，由勾股定理可得：△PEF、PDF、PED都是直角三角形，由線面垂直的判定定理和性質定理，可證得DF⊥EO，EF⊥DO，DE⊥FO，即O是三角形DEF的垂心（三條高的交點）．

解答： 證明：（1）過P作PO垂直于平面DEF，O為垂足，
連接OD、OE、OF，
∵PD=PE=PF
∴Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，
∴OD=OE=OF，
故O為三角形DEF的外心．（4分）
（2）過P作PO垂直于平面DEF，O為垂足，
∵PE=PF=1，EF=

2

，DE=DF=

5

，PD=2，
∴△PEF、PDF、PED都是直角三角形．…（1分）

PE⊥PF PE⊥PD PF∩PD=P

⇒PE⊥平面PDF…（3分）
⇒

PE⊥平面PDF DF?平面PDF

⇒PE⊥DF…（1分）
又

PO⊥平面DEF DF?平面DEF

⇒PO⊥DF，
∵PE∩PO=P，PE，PO?平面PEO，
∴DF⊥平面PEO，
又∵EO?平面PEO，
∴DF⊥EO，
同理可得：EF⊥DO，DE⊥FO，
即O是三角形DEF的垂心．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，勾股定理，三角形的四心，難度不大，屬于基礎題．