Question

已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x+a(a＞0).

(1)求a的值，使點(diǎn)M(f(x),g(x))到直線x+y-1=0的距離最短為2；

(2)若不等式||≤1在x∈［1,4］上恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由題意得,點(diǎn)M到直線x+y-1=0的距離d=,

    令t=,則t≥0,

d==≥.

∴當(dāng)t==0時(shí)，d_min==.

    解得a=-1(舍)，a=3.

(2)由||≤1-1

≤≤1得0≤≤2,即≤2在x∈［1,4］上恒成立.

    也就是ax+a²≤在x∈［1,4］上恒成立.

    令t=,則t≥0，且x=t².

    依題意at²-2t+a²≤0，

    在t∈［1,2］上恒成立.

    設(shè)φ(t)=at²-2t+a²，則要使上述條件成立，只需

    解得0＜a≤2(-1),

    即滿足題意的a的取值范圍是0＜a≤2(-1).