Question

【題目】焦點在軸上的橢圓經過點，橢圓的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意點．

（1）若面積為，求的值；

（2）若點為的中點（為坐標原點），過且平行于的直線交橢圓于兩點，是否存在實數，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件.

【解析】

（1）先求出橢圓方程，設，利用余弦定理可得的關系，結合面積可求的值，從而得到的值.

（2）分別設直線的方程為、直線的方程為，聯立直線的方程和橢圓的方程，消去后得到關于的方程，利用弦長公式和韋達定理可求，聯立直線的方程和橢圓方程可求出的坐標后可得，兩者聯立后可求的值.

解：（1）由已知可得，，，

解得，，

所以橢圓的標準方程為．

設，，，

由余弦定理得，又，

故即，又，

所以即 ，，故，所以.

（2）若直線的斜率不存在時，，，

所以.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

設，．

聯立直線與橢圓方程，消去y，得，

所以．

因為，設直線的方程為，

聯立直線與橢圓方程，消去，得，解得．

，

，

同理，，

因為，

，故，存在滿足條件，

綜上可得，存在滿足條件．